[최단 경로 알고리즘] 가장 빠른 길 찾기

최단 경로 알고리즘

- 말 그대로 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘

- '한 지점에서 다른 특정 지점까지의 최단 경로', '모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로' 등의 사례가 존재

- 최단 경로를 모두 출력하는 문제보다는 단순히 최단 거리를 출력하도록 요구하는 문제가 많음

- 그리디 알고리즘과 다이나믹 프로그래밍 알고리즘이 최단 경로 알고리즘에 그대로 적용됨

 

음의 간선

- 0보다 작은 값을 가지는 간선

- 현실 세계의 길(간선)은 음의 간선으로 표현되지 않으므로 다익스트라 알고리즘은 실제로 GPS 소프트웨어의 기본 알고리즘으로 채택됨

 

다익스트라 최단 경로 알고리즘

- 그래프에서 여러 개의 노드가 있을 때, 특정한 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘

- '음의 간선'이 없을 때 정상적으로 동작

- '가장 비용이 적은 노드'를 선택해 과정을 반복하기 때문에 그리디 알고리즘으로 분류

- 최단 경로를 구하는 과정에서 '각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리' 정보를 항상 1차원 리스트에 저장하며 리스트를 계속 갱신

- 한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾는 것으로 이해할 수 있음

 

다익스트라 최단 경로 알고리즘의 원리

1. 출발 노드를 설정

2. 최단 거리 테이블을 초기화

3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택

4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신

5. 위 과정에서 3과 4를 반복

 

간단한 다익스트라 알고리즘

- O(V^2)의 시간 복잡도 (V는 노드의 개수)

- 처음에 각 노드에 대한 최단 거리를 담는 1차원 리스트 선언

- 단계마다 '방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택'하기 위하여 매 단계마다 1차원 리스트의 모든 원소를 확인(순차 탐색)

import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n + 1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))

# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
    min_value = INF
    index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
    for i in range(1, n + 1):
        if distance[i] < min_value and not visited[i]:
            min_value = distance[i]
            index = i
    return index

def dijkstra(start):
    # 시작 노드에 대해서 초기화
    distance[start] = 0
    visited[start] = True
    for j in graph[start]:
        distance[j[0]] = j[1]
    # 시작 노드를 제외한 전체 n - 1개의 노드에 대해 반복
    for i in range(n - 1):
        # 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
        now = get_smallest_node()
        visited[now] = True
        # 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
        for j in graph[now]:
            cost = distance[now] + j[1]
            # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[j[0]]:
                distance[j[0]] = cost

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

 

간단한 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도

- 총 O(V)번에 걸쳐서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형 탐색해야 하고, 현재 노드와 연결된 노드를 매번 일일이 확인하기 때문

- 전체 노드의 개수가 5,000개 이하라면 간단한 다익스트라 알고리즘으로 문제를 풀 수 있음

- 하지만 노드의 개수가 10,000개를 넘어가는 문제라면 해결하기 어려움

 

우선순위 큐

- 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제

- 데이터를 우선순위에 따라 처리하고 싶을 때 사용

- 일반적으로 PriorityQueue 보다는 heapq가 더 빠르게 동작하기 때문에 수행 시간이 제한된 상황에서는 heapq 사용을 권장

- 우선순위 큐 라이브러리에 데이터의 묶음을 넣으면 첫 번째 원소를 기준으로 우선순위를 설정

- 내부적으로 최소 힙 혹은 최대 힙을 이용

- 힙을 이용하는 경우 모든 원소를 저장한 뒤에 우선순위에 맞게 빠르게 뽑아낼 수 있으므로 힙은 우선순위 큐를 구현하는데 많이 사용

- 우선순위 큐를 이용하여 시작 노드로부터 거리가 짧은 노드 순서대로 큐에서 나올 수 있도록 다익스트라 알고리즘을 작성

 

최소 힙

- 값이 낮은 데이터가 먼저 삭제 (최대 힙은 값이 큰 데이터가 먼저 삭제)

- 파이썬 라이브러리에서는 기본적으로 최소 힙 구조를 이용

- 다익스트라 최단 경로 알고리즘에서는 비용이 적은 노드를 우선하여 방문하므로 최소 힙 구조를 기반으로 하는 파이썬의 우선순위 큐 라이브러리를 그대로 사용하면 적합

- 최소 힙을 최대 힙처럼 사용하기 위하여 일부러 우선순위에 해당하는 값에 음수 부호를 붙여 넣었다가 나중에 우선순위 큐에서 꺼낸 다음 다시 음수 부호를 붙여 원래의 값으로 돌리는 방식도 존재

- 힙에서 원소를 꺼내면 '가장 값이 작은 원소'가 추출됨

 

개선된 다익스트라 알고리즘

- 최악의 경우에도 시간 복잡도 O(ElogV)를 보장 (V는 노드의 개수, E는 간선의 개수)

- 힙 자료구조를 사용

- 간단한 다익스트라 알고리즘과 비교할 때 get_smallest_node() 함수를 작성할 필요가 없음

- 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하는 과정을 다익스트라 최단 경로 함수 안에서 우선순위 큐를 이용하는 방식으로 대체 가능

 

import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))

def dijkstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    while q: # 큐가 비어있지 않다면
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

 

개선된 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도

- 간단한 다익스트라 알고리즘에 비해 훨씬 빠름

 

플로이드 워셜 알고리즘

- 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야 하는 경우에 사용할 수 있는 알고리즘

- 단계마다 거쳐 가는 노드를 기준으로 알고리즘을 수행

- 매번 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리를 갖는 노드를 찾을 필요가 없음

- 2차원 리스트에 최단 거리 정보를 저장 (모든 노드에 대하여 다른 모든 노드로 가는 최단 거리 정보를 담아야 하기 때문

- 2차원 리스트를 처리해야 하므로 N번의 단계에서 O(N^2)의 시간이 소요

- 노드의 개수가 N일 때 N번 만큼의 단계를 반복하며 점화식에 맞게 2차원 리스트를 갱신하기 때문에 다이나믹 프로그래밍

 

INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n = int(input())
m = int(input())
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        if a == b:
            graph[a][b] = 0

# 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
    # A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a][b] = c

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n + 1):
    for a in range(1, n + 1):
        for b in range(1, n + 1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
        if graph[a][b] == 1e9:
            print("INFINITY", end=" ")
        # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
        else:
            print(graph[a][b], end=" ")
    print()

 

플로이드 워셜 알고리즘의 점화식

- Dab = min(Dab, Dak + Dkb)

- A에서 B로 가는 최소 비용과 A에서 K를 거쳐 B로 가는 비용을 비교하여 더 작은 값으로 갱신하겠다는 말