[그래프 이론 알고리즘] 다양한 그래프 알고리즘

그래프 이론 알고리즘

- DFS/BFS 알고리즘과 최단 경로 알고리즘에서 다룬 내용은 모두 그래프 알고리즘의 한 유형

- 크루스칼 알고리즘은 그리디 알고리즘, 위상 정렬 알고리즘은 큐 자료구조 혹은 스택 자료구조를 활용

- 문제에서 서로 다른 객체가 연결되어 있다는 이야기를 들으면 가장 먼저 그래프 알고리즘을 떠올려야 함

 

서로소 집합 자료구조 (Union-Find 자료구조)

- 서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조

- union과 find 2개의 연산으로 조작 가능

- union 연산은 2개의 원소가 포함된 집합을 하나의 집합으로 합치는 연산

- find 연산은 특정한 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 알려주는 연산

- 트리 자료구조를 이용하여 집합을 표현

 

서로소 집합 알고리즘

1. union 연산을 확인하여 서로 연결된 두 노드 A, B를 확인

  1-1. A와 B의 루트 노드 A', B'를 각각 찾음

  1-2. A'를 B'의 부모 노드로 설정 (B'가 A'를 가리키도록 함)

2. 모든 union 연산을 처리할 때까지 1번을 반복

 

- 실제로 구현할 때는 A'와 B' 중 번호가 작은 원소가 부모 노드가 되도록 구현

- find_parent() 함수의 효율성을 고려하여 경로 압축 기법으로 시간 복잡도를 개선시킴 (find_parent 함수를 재귀적으로 호출한 뒤 부모 테이블 값을 갱신하는 기법)

 

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

# Union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    union_parent(parent, a, b)

# 각 원소가 속한 집합 출력하기
print('각 원소가 속한 집합: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
    print(find_parent(parent, i), end=' ')

print()

# 부모 테이블 내용 출력하기
print('부모 테이블: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
    print(parent[i], end=' ')

 

서로소 집합 알고리즘의 시간 복잡도 (경로 압축 기법을 사용할 경우)

- 노드의 개수가 V개이고 최대 V-1개의 union 연산과 M개의 find 연산이 가능할 때, O(V+M(1+log(2-M/V)V))

- 예를 들어 노드의 개수가 1,000개이고 union 및 find 연산이 100만 번 수행된다면 1,000만 번 가량의 연산이 필요

 

서로소 집합을 활용한 사이클 판별

- 서로소 집합 알고리즘은 무방향 그래프 내에서 사이클을 판별할 때 사용할 수 있다는 특징

- union 연산은 그래프에서의 간선으로 표현될 수 있으므로 간선을 하나씩 확인하면서 두 노드가 포함되어 있는 집합을 합치는 과정을 반복하는 것만으로도 사이클을 판별할 수 있음

- 그래프에 포함되어 있는 간선의 개수가 E개일 때 모든 간선을 하나씩 확인

- 매 간선에 대하여 union 및 find 함수를 호출하는 방식으로 동작

 

1. 각 간선을 확인하며 두 노드의 루트 노드를 확인

  1.1 루트 노드가 서로 다르다면 두 노드에 대하여 union 연산을 수행

  1.2 루트 노드가 서로 같다면 사이클이 발생

2. 그래프에 포함되어 있는 모든 간선에 대하여 1번 과정을 반복

 

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

cycle = False # 사이클 발생 여부

for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    # 사이클이 발생한 경우 종료
    if find_parent(parent, a) == find_parent(parent, b):
        cycle = True
        break
    # 사이클이 발생하지 않았다면 합집합(Union) 연산 수행
    else:
        union_parent(parent, a, b)

if cycle:
    print("사이클이 발생했습니다.")
else:
    print("사이클이 발생하지 않았습니다.")

 

신장 트리

- 하나의 그래프가 있을 때 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프

- 모든 노드가 포함되어 서로 연결되면서 사이클이 존재하지 않는다는 조건은 트리의 성립 조건

 

최소 신장 트리 알고리즘

- 신장 트리 중에서 최소 비용을 만들 수 있는 신장 트리를 찾는 알고리즘

- 대표적인 최소 신장 트리 알고리즘으로 크루스칼 알고리즘이 존재

 

크루스칼 알고리즘

- 가장 적은 비용으로 모든 노드를 연결할 수 있음

- 그리디 알고리즘으로 분류됨

- 모든 간선에 대하여 정렬을 수행한 뒤 가장 거리가 짧은 간선부터 집합에 포함시킴

- 단, 사이클을 발생시킬 수 있는 간선의 경우에, 집합에 포함시키지 않음

 

1. 간선 데이터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬

2. 간선을 하나씩 확인하며 현재의 간선이 사이클을 발생시키는지 확인

  2.1 사이클이 발생하지 않는 경우 최소 신장 트리에 포함시킴

  2.2 사이클이 발생하는 경우 최소 신장 트리에 포함시키지 않음

3. 모든 간선에 대하여 2번의 과정 반복

 

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기

# 모든 간선을 담을 리스트와, 최종 비용을 담을 변수
edges = []
result = 0

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

# 모든 간선에 대한 정보를 입력 받기
for _ in range(e):
    a, b, cost = map(int, input().split())
    # 비용순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫 번째 원소를 비용으로 설정
    edges.append((cost, a, b))

# 간선을 비용순으로 정렬
edges.sort()

# 간선을 하나씩 확인하며
for edge in edges:
    cost, a, b = edge
    # 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
    if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
        union_parent(parent, a, b)
        result += cost

print(result)

 

크루스칼 알고리즘의 시간 복잡도

- 간선의 개수가 E개일 때, O(ElogE)의 시간 복잡도를 가짐

- 시간이 가장 오래 걸리는 부분이 간선을 정렬하는 작업이며, E개의 데이터를 정렬했을 때의 시간 복잡도는 O(ElogE)

- 내부에서 사용되는 서로소 집합 알고리즘의 시간 복잡도는 정렬 알고리즘의 시간 복잡도보다 작으므로 무시

 

위상 정렬

- 정렬 알고리즘의 일종

- 순서가 정해져 있는 일련의 작업을 차례대로 수행해야 할 때 사용할 수 있는 알고리즘

- 방향 그래프의 모든 노드를 방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열

- 그래프 상에서 선후관계가 있다면 위상 정렬을 수행하여 모든 선후 관계를 지키는 전체 순서를 계산할 수 있음

- 큐가 빌 때까지 큐에서 원소를 계속 꺼내 처리하는 과정을 반복

- 모든 원소를 방문하기 전에 큐가 빈다면 사이클이 존재한다고 판단할 수 있음

- 기본적으로 사이클이 발생하지 않는다고 명시하는 경우가 많음

 

진입차수

- 특정한 노드로 들어오는 간선의 개수

 

위상 정렬 알고리즘

1. 진입차수가 0인 노드를 큐에 넣음

2. 큐가 빌 때까지 다음의 과정을 반복

  2.1 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 출발하는 간선을 그래프에서 제거

  2.2 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣음

 

from collections import deque

# 노드의 개수와 간선의 개수를 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
# 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
indegree = [0] * (v + 1)
# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트 초기화
graph = [[] for i in range(v + 1)]

# 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력 받기
for _ in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    graph[a].append(b) # 정점 A에서 B로 이동 가능
    # 진입 차수를 1 증가
    indegree[b] += 1

# 위상 정렬 함수
def topology_sort():
    result = [] # 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
    q = deque() # 큐 기능을 위한 deque 라이브러리 사용

    # 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
    for i in range(1, v + 1):
        if indegree[i] == 0:
            q.append(i)

    # 큐가 빌 때까지 반복
    while q:
        # 큐에서 원소 꺼내기
        now = q.popleft()
        result.append(now)
        # 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
        for i in graph[now]:
            indegree[i] -= 1
            # 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
            if indegree[i] == 0:
                q.append(i)

    # 위상 정렬을 수행한 결과 출력
    for i in result:
        print(i, end=' ')

topology_sort()

 

위상 정렬의 시간 복잡도

- 시간 복잡도는 O(V+E)

- 차례대로 모든 노드를 확인하면서 해당 노드에서 출발하는 간선을 차례대로 제거해야 함

- 결과적으로 노드와 간선을 모두 확인한다는 측면에서 O(V+E)의 시간이 소요